邻域 Lights Out 博弈的一个极值问题

邻域 Lights Out 是一个在图上进行的博弈。从一个图和图的一个顶点标号开始，标号取自集合 $\{0,1,2,\dots, \ell-1\}$（$\ell \in \mathbb{N}$）。博弈通过切换顶点进行：当切换一个顶点时，该顶点及其每个邻点的标号增加 $1$（模 $\ell$）。当每个顶点标号均为 0 时获胜。对任意 $n\in\mathbb{N}$，显然除非初始标号给所有顶点分配相同标号，否则无法在 $K_n$ 上获胜。鉴于 $K_n$ 在 $n$ 个顶点的任何简单图中具有最多边数，自然地会问：一个图可以有多少条边，使得无论初始标号如何邻域 Lights Out 博弈都可赢。我们找到了所有此类 $n$ 个顶点的极值图，其具有 $\binom{n}{2} - c$ 条边（$c\leq \lceil\frac{n}{2}\rceil +3$），以及所有最小度为 $n-3$ 的此类图。我们结果的证明要求我们引入一种新版本的 Lights Out 博弈，该版本可给定任意方阵进行。