Sutner 猜想的解决

考虑一个在简单图 $G = (V,E)$ 上进行的游戏，其中每个顶点由一盏可点击的灯组成。点击任意顶点 $v$ 会切换 $v$ 及其邻居的开/关状态。当 $G$ 为 $5 \times 5$ 网格时，该游戏由 Tiger Electronics 作为 Lights Out 商业发售。Sutner 是最早从数学上研究这些游戏的人之一。他发现当 $d(G) = \text{dim}(\text{ker}(A + I))$ 在域 $GF(2)$ 上（其中 $A$ 是 $G$ 的邻接矩阵）为 0 时，所有初始构型都是可解的。在研究 $n \times n$ 网格图时，Sutner 猜想 $d_{2n+1} = 2d_{n} + \delta_{n}, \delta_{n} \in \{0,2\}, \delta_{2n+1} = \delta_{n}$，其中 $d_n = d(G)$，$G$ 为 $n \times n$ 网格图。我们肯定地解决了该猜想。我们使用了 Sutner 给出的将 $d_n$ 表示为环 $\mathbb{Z}_2[x]$ 中两个多项式的最大公因子的结果。然后我们应用 Hunziker、Machiavelo 和 Park 给出的关联 $(2n+1) \times (2n+1)$ 网格与 $n \times n$ 网格多项式的恒等式。最后，我们使用了 Ore 关于两个乘积的最大公因子的一条结果。这些结果共同使我们能够证明 Sutner 的猜想。我们进一步说明了对于哪些具体的 $n$ 值 $\delta_n$ 为 0 或 2。