仅点亮 sigma 游戏的 2-点亮树

有限图 $\Gamma$ 上仅点亮 $\sigma$-游戏的一个构型是指给 $\Gamma$ 的所有顶点分配两种状态（亮或灭）之一。给定一个构型，在 $\Gamma$ 上进行仅点亮 $\sigma$-游戏的一步移动允许玩家选择 $\Gamma$ 的一个亮顶点 $s$，并改变 $s$ 的所有邻点的状态。给定任意整数 $k$，如果对于任意构型，亮顶点的数量都可以通过有限步移动减少到至多 $k$ 个，则称 $\Gamma$ 是 $k$-点亮的。假设 $\Gamma$ 是一个具有完美匹配的树。我们证明了 $\Gamma$ 是 1-点亮的，并且通过在 $\Gamma$ 的一条边上添加一个新顶点而得到的任何树都是 2-点亮的。