具有连续种子库系的 Wright-Fisher 扩散与合并过程

本文将 arXiv:1411.4747 中引入的强种子库模型推广到允许更一般的休眠时间分布，例如一类 Pareto 分布。受 arXiv:2209.10086 提出的利用可数多个种子库模型进行逼近的方法启发，我们引入了具有连续种子库系的 Wright-Fisher 扩散与合并过程。为此，我们首先表述一个无限维随机微分方程，并证明其存在唯一强解，称之为连续种子库扩散，它是非马尔可夫 Volterra 过程的一种马尔可夫提升。为规避由缺乏局部紧性引起的技术困难，我们将解所在状态空间上由范数诱导的拓扑替换为弱-* 拓扑，并证明连续种子库扩散在该弱-* 设定下也是强马尔可夫过程。接着，我们构造具有有限多个种子库的离散时间 Wright-Fisher 类型模型，并证明弱-* 拓扑下的连续种子库扩散是此类模型序列中等位基因频率过程的缩放极限。最后，我们建立连续种子库扩散与连续时间连续状态马尔可夫跳跃过程之间的对偶关系。后者是一个取分区值的马尔可夫跳跃过程的块计数过程，称之为连续种子库合并过程。我们证明这一新的合并过程恰为我们之前构造的离散时间 Wright-Fisher 类型模型序列中祖先过程的缩放极限。