Aldous扩散：布朗CRT的平稳演化

受系统发育树上的下-上马尔可夫链启发，David Aldous于1999年猜想存在一种“连续树上的扩散”，其在任意有限个分支点处的质量分割作为具有某些负突变率的Wright-Fisher扩散演化，直至某个分支点消失。基于先前关于区间分割值过程的工作，我们通过一个由带k个标记叶且边以区间分割装饰的二叉树的平稳演化的一致系统构造了该猜想过程。这些区间分割是缩放的Poisson-Dirichlet区间分割，其区间长度记录了子树质量。它们还具备一种多样性性质，可捕捉连续树中的某些距离。连续演化的多样性给出了连续演化的连续树距离。该路径构造使我们能在根加权R-树的Gromov-Hausdorff-Prokhorov空间中研究此“Aldous扩散”。我们建立了简单马尔可夫性质与路径连续性。Aldous扩散是平稳的，其分布为布朗连续随机树。虽然布朗CRT几乎必然为二叉，我们证明存在一个稠密零测的例外时刻集，此时Aldous扩散具有三元分支点，包括强马尔可夫性质失效的停时。我们的构造关联到双参数中国餐馆过程、分支过程以及稳定Lévy过程等其他联系。Wright-Fisher扩散与上述Poisson-Dirichlet区间分割过程作为Aldous扩散的有趣投影而出现。最后，可将Aldous的平稳下-上系统发育树马尔可夫链嵌入Aldous扩散中，从而通过确立缩放极限定理来解决David Aldous的一个相关猜想。