惠特尼孪生、惠特尼对偶与 operadic 划分偏序集

若存在一个偏序集 $P$，使得其第一类与第二类惠特尼数（的绝对值）分别由数列 $a_k$ 与 $b_k$ 给出，则称非负整数对 $(\{a_k\}_{k\geq 0},\{b_k\}_{k\geq 0})$ 是惠特尼可实现的。若此外还存在另一个偏序集 $Q$，其第一类与第二类惠特尼数分别由 $b_k$ 与 $a_k$ 给出，则称该对是惠特尼可对偶的。此时，称 $P$ 与 $Q$ 为惠特尼对偶。我们利用前两位作者近期发展的惠特尼对偶性结果，展示了一族允许多种实现及惠特尼对偶实现的数列。更确切地说，我们研究了与点划分偏序集族 $\Pi_n^{\bullet}$ 和加权划分偏序集族 $\Pi_n^{w}$ 相关的边标号，它们分别对应于 operad $\mathcal{P}erm$ 与 $\mathcal{C}om^2$。第一作者与 Wachs 证明了这两个偏序集族具有相同的惠特尼数对。我们为 $\Pi_n^{\bullet}$ 与 $\Pi_n^{w}$ 找到了 EW-标号，并用以证明它们还共享多个非同构的惠特尼对偶偏序集。除 EW-标号外，我们也为 $\Pi_n^\bullet$ 找到了两个新的 EL-标号，回答了 Chapoton 与 Vallette 的一个问题。利用这些 $\Pi_n^\bullet$ 的 EL-标号，以及第一作者与 Wachs 引入的 $\Pi_n^w$ 的 EL-标号，我们给出了 operad $\mathcal{P}re\mathcal{L}ie, \mathcal{P}erm,$ 与 $\mathcal{C}om^2$ 的基的组合描述。我们还证明了 $\mathcal{P}erm$ 与 $\mathcal{C}om^2$ 的基是 PBW 基。