分次偏序集的 Whitney 对偶

我们引入分次偏序集的“Whitney 对偶”这一概念。若两个偏序集彼此的第一类与第二类 Whitney 数(的绝对值)在两者之间互换,则称它们互为 Whitney 对偶。我们定义了称为“Whitney 标号”的新型边标号与链边标号。我们证明每个带 Whitney 标号的偏序集都有 Whitney 对偶。此外,我们展示了如何利用商偏序集技术显式构造 Whitney 对偶。作为主定理的应用,我们证明几何格、非交叉划分格、González D'León-Wachs 所研究的加权划分偏序集,以及 Simion-Stanley 研究的大多数 R$^*$S-可标号偏序集均有 Whitney 对偶。我们的技术用一族非交叉 Dyck 路径给出了非交叉划分格的 Whitney 对偶的组合描述。我们的方法也解释了加权划分偏序集与 Reiner 和 Sagan 研究的树根森林偏序集之间的 Whitney 对偶性。该解释的核心部分是加权划分偏序集的一个新链边标号,我们证明它是一个 Whitney 标号。最后,我们证明带 Whitney 标号的偏序集在其极大链集合上容许 A 型 $0$-Hecke 代数的局部作用。该相关表示的示性函数为 Ehrenborg 的旗拟对称函数。利用 McNamara 的一个结果,此作用的存在性意味着:当所构造 Whitney 对偶的极大区间是无蝴蝶结的,它们也是可 Snell 的。当这些极大区间是格时,它们是超可解的。