组合几何与高权Dowling格的Whitney数

我们研究组合几何的第一类Whitney数。论文的第一部分致力于给出联系嵌套原子格的Möbius函数的一般性结果，推广了组合学中的一些经典定理。随后我们将结果专门应用于限制几何，即域$\mathbb{F}_q$-线性空间$X$的子空间格的子格$\mathcal{L}(A)$，该子格由一组射影点$A \subseteq X$生成。在此背景下，我们引入子空间分布的概念，并证明对后者的部分了解等价于对$\mathcal{L}(A)$的Whitney数的部分了解。这精炼了Dowling的一个经典结果。我们结果最有趣的应用见于高权Dowling格（HWDLs）的理论，我们将论文实质且最丰富的第二部分奉献于此。这些组合几何由Dowling于1971年引入，与编码理论中的基本问题相关，并被Zaslavsky、Bonin、Kung、Brini和Games等人进一步研究。迄今为止，关于这些格所知仍甚少。特别是，计算其Whitney数的技术尚未被发现。在本文中，我们推进了HWDLs的理论，计算了新的无限参数族的Whitney数。此外，我们证明HWDLs的第二Whitney数是底层域大小$q$的多项式，其系数涉及Bernoulli数的表达式。这揭示了组合学、编码理论与数论之间的新联系。我们还研究了当域大小增长时HWDLs的Whitney数的渐近性，在某些情形下给出了上界与精确估计。顺便地，我们获得了关于纠错码密度函数的新结果。