矩阵的 Weyr 结构及其与交换有限维代数的关联

我们将方阵 $B$ 的 Weyr 结构与其 $t \times t$ 块上三角矩阵 $C$ 的 Weyr 结构联系起来，其中 $C$ 的主对角线上和第一条超对角线上为 $B$，其余位置为零。特别令人感兴趣的是 $t = 2$ 的情形，以及 $C$ 为第 $n$ 个 Sierpinski 矩阵 $B_n$ 的情形，该矩阵归纳定义为 $B_0 = 1$ 且 $B_n = \left[\begin{array}{cc} B_{n-1} & B_{n-1} 0 & B_{n-1} \end{array} \right]$。这给出了 $B_n$ 的 Weyr 结构作为按递减顺序排列的二项式系数的简便推导。此前这一现象的 Jordan 类似结果的证明常常依赖于代数几何等领域的深刻定理。该结果对交换有限维代数具有有趣的结论。