Weyl、Pontryagin、Euler、Eguchi 与 Freund

在 1976 年 9 月的一篇 PRL 中，Eguchi 与 Freund 考虑了两个拓扑不变量：Pontryagin 数 $P \sim \int d^4x \sqrt{g}R^* R$ 与 Euler 数 $\chi \sim \int d^4x \sqrt{g}R^* R^*$，并提出问题：它们贡献于哪些反常？他们发现 $P$ 出现在轴子费米子数流的分流散度中，从而给出了 Kimura（1969）与 Delbourgo 和 Salam（1972）所发现反常的新拓扑解释。然而，他们未发现 $\chi$ 有类似作用。这引发了我的兴趣，并借鉴我与 Deser 和 Isham 于 1976 年 4 月关于引力 Weyl 反常的论文，我得以证明对于共形场论，应力张量的迹仅依赖于两个常数：$$g^{\mu\nu}\langle T_{\mu\nu}\rangle=\frac{1}{(4\pi)^2}(cF-aG)$$ 其中 $F$ 为 Weyl 张量的平方，$\int d^4x\sqrt{g} G/(4\pi)^2$ 为 Euler 数。对于具有 $N_s$ 个自旋 $s$ 无质量场的自由 CFT，$$720c=6N_0 + 18N_{1/2} + 72 N_1~~~~ 720a=2N_0 + 11N_{1/2} + 124N_1$$