有向树上的加权并算子

一个有根有向树 $\mathscr T=(V, E)$ 可以通过添加一个顶点 $\infty$ 到 $V$ 并将 $V$ 中的每个顶点声明为 $\infty$ 的父节点，扩展为有向图 $\mathscr T_\infty=(V_\infty, E_\infty)$。该扩展有向树关联着一族半群结构 $\sqcup_{b}$，其极端情形由并运算 $\sqcup$ 和交运算 $\sqcap$ 诱导。这些半群结构中的每一个都导出一族定义在 $\ell^2(V)$ 上的稠定线性算子 $W^{b}_{\lambda_u}$，我们称其为给定基点 $b \in V_{\infty}$ 和指定顶点 $u \in V$ 下的加权并算子。该族的极端情形是加权并算子 $W^{\mathsf{root}}_{\lambda_u}$ 和加权交算子 $W^{\infty}_{\lambda_u}$。本文系统研究了这些算子。我们还给出了无根有向树上加权并算子的一个更复杂的对应物。在这两种情形下，加权并算子类与已得到充分研究的复Jordan算子和$n$-对称算子类有重叠。本文的重要部分致力于研究加权并算子的秩一扩张 $W_{f, g}$，其中 $f \in \ell^2(V)$ 且 $g : V \to \mathbb C$ 未指定。与加权并算子不同，这些算子不一定闭。我们提供了涉及权重系统 $\lambda_u$ 和 $g$ 的几个相容性条件以确保 $W_{f, g}$ 的闭性。我们讨论了Gelfand三元组在实现 $W_{f, g}$ 的Hilbert空间共轭中的作用。此外，我们根据权重系统和树数据描述了 $W_{f, g}$ 的各种谱部分。我们还给出了 $W_{f, g}$ 为扇形算子的充分条件。当 $\mathscr T$ 无叶时，我们刻画了具有紧预解式的秩一扩张 $W_{f, g}$。