有界代价下加权树增广问题的改进近似

加权树增广问题（WTAP）是网络设计领域中一个被广泛研究的基础问题。给定一棵无向树 $G=(V,E)$、一个与 $E$ 不相交的额外边集 $L \subseteq V\times V$（称为 \textit{links}），以及代价向量 $c\in \mathbb{R}_{\geq 0}^L$，WTAP 旨在寻找一个最小代价的集合 $F\subseteq L$，使得 $(V,E\cup F)$ 是 2-边连通的。当所有 $\ell\in L$ 满足 $c_\ell = 1$ 时的特例被称为树增广问题（TAP）。这两个问题均已知是 NP-hard 的。针对有界代价向量类，我们提出了三十多年来 WTAP 的首个改进近似算法。具体而言，对于任意 $M\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$ 和 $\epsilon > 0$，我们针对代价向量 $c$ 限制在 $[1,M]^L$ 中的 WTAP 提出了一种基于 LP 的 $(\delta+\epsilon)$-近似，其中 $\delta \approx 1.96417$。对于 TAP 这一特例，我们将该因子改进至 $\frac{5}{3}+\epsilon$。我们的结果依赖于一种新的 LP，它与现有为 TAP 取得改进界限的 LP 有显著不同。我们分两个阶段对分数解进行舍入。第一阶段利用分数解将树及其分数解分解为所谓的 $\beta$-简单对，在目标函数中仅损失一个 $\epsilon$ 因子。随后，我们展示了如何利用我们 LP 中的附加约束结合 $\beta$-简单结构，对分解后每一部分的分数解进行舍入。