TAP 与 2-边连通性的快速分布式近似

树增广问题（TAP）是一个基本的网络设计问题，其输入为图 $G$ 及其生成树 $T$，目标是从 $G$ 中用最少边集 $Aug$ 增广 $T$，使得 $T \cup Aug$ 为 2-边连通。TAP 在顺序计算环境下已被广泛研究。加权情形最佳已知的 2 近似比可追溯到 Frederickson 与 J\'{a}J\'{a} 1981 年 SICOMP 的工作。近来，Kortsarz 与 Nutov 在 TALG 2016 中给出了非加权 TAP 的 3/2-近似。近期突破给出了非加权 TAP 的 1.458 近似 [Grandoni 等, STOC 2018]，以及有界权重下优于 2 的近似 [Adjiashvili, SODA 2017; Fiorini 等, SODA 2018]。本文中，我们提供了 TAP 的首个快速分布式近似。我们给出了加权 TAP 的分布式 $2$-近似，在 $O(h)$ 轮内完成，其中 $h$ 为 $T$ 的高度。当 $h$ 较大时，我们展示了一种快得多的非加权情形 4-近似算法，在 $O(D+\sqrt{n}\log^{*}{n})$ 轮内完成，其中 $n$ 为顶点数，$D$ 为 $G$ 的直径。我们结果的直接推论是：最小尺寸 2-边连通生成子图的 $O(D)$ 轮 2-近似算法，显著改进了先前近似算法的运行时间；以及加权情形的 $O(h_{MST}+\sqrt{n}\log^{*}{n})$ 轮 3-近似算法，其中 $h_{MST}$ 为图 MST 的高度。其他应用包括验证 2-边连通性的算法，以及将任意连通生成子图的连通性增广至 2 的算法。最后，我们以证明 TAP 分布式近似的下界来补充我们的研究。