突破连通性增强的 2-近似壁垒：归约到斯坦纳树

可生存网络设计的基本目标是构建一个廉价网络，在给定节点集之间少数边/节点失效时仍保持连通性。连通性增强问题（CAP）可以说是该领域最基本的问题之一：给定一个 $k$（边）连通图 $G$ 和一组额外边（链路），选取最小基数的链路子集 $A$，使得将 $A$ 加入 $G$ 后其边连通性增至 $k+1$。直观上，人们希望通过用额外边增强现有网络以使其更可靠。这一 NP 难问题已知的最佳近似因子为 $2$，且可通过多种方法实现（首个此类结果见 [Frederickson and J\'aj\'a'81]）。已知 [Dinitz et al.'76] 对于奇数 $k$，CAP 可归约到 $k=1$ 的情形，即树增强问题（TAP），而对于偶数 $k$ 可归约到 $k=2$ 的情形，即仙人掌增强问题（CacAP）。对于 TAP 已有若干优于 $2$ 的近似算法，近期达到了 $1.458$ 近似 [Grandoni et al.'18]。然而，对于 CacAP 已知最佳近似仍为 $2$。本文中我们突破 CacAP（从而 CAP）的 $2$ 近似壁垒，给出多项式时间 $2\ln(4)-\frac{967}{1120}+\epsilon<1.91$ 近似。先前方法利用了看似不能推广到 CacAP 的 TAP 性质。我们转而使用先前在参数化算法中采用的到斯坦纳树问题的归约 [Basavaraju et al.'14]。该归约不保持近似比，且将当前斯坦纳树最佳近似因子 [Byrka et al.'13] 作为黑盒使用不足以改进 $2$。为实现后者目标，我们“打开黑盒”并利用由 CacAP 产生的斯坦纳树实例的特定性质。