论树增广问题

在树增广问题中，给定一棵树 $T=(V,F)$ 和一组具有正整数代价 $\{c_e:e \in E\}$ 的边集 $E \subseteq V \times V$。目标是向 $T$ 增广一个最小代价边集 $J \subseteq E$，使得 $T \cup J$ 是 $2$-边连通的。我们得到以下结果。最近，Adjiashvili [SODA 17] 为该问题引入了一个新的 LP，并利用它打破了当 $E$ 中边的最大代价 $M$ 以常数为界时的 $2$-近似屏障；其算法在 $n^{{(M/\epsilon^2)}^{O(1)}}$ 时间内计算出 $1.96418+\epsilon$ 近似解。使用更简单的 LP，我们在 $2^{O(M/\epsilon^2)} poly(n)$ 时间内实现了 $\frac{12}{7}+\epsilon$ 的近似比。这使得对于对数代价也能得到优于 $2$ 的近似比，而不仅限于常数代价。该问题最古老的未决问题之一是，对于单位代价（当 $M=1$ 时），标准 LP 松弛（即所谓的 Cut-LP）的积分间隙是否小于 $2$。我们通过证明对于单位代价，Cut-LP 的积分间隙至多为 $28/15=2-2/15$，解决了这一未决问题。此外，我们还将证明另一种自然的 LP 松弛（比以往工作中的松弛简单得多）的积分间隙至多为 $7/4$。