局部上同调模的弱余有限性

设 $R$ 为交换 Noether 环，$\Phi$ 为 $R$ 的一个理想系，且 $I\in \Phi$。设 $M$ 为一个 $R$-模（无需 $I$-挠）使得 $\dim M\leq 1$，则 $R$-模 $\Ext^i_{R}(R/I, M)$ 对所有 $i\geq 0$ 是弱 Laskerian 的，当且仅当 $R$-模 $\Ext^i_{R}(R/I, M)$ 对 $i=0, 1$ 是弱 Laskerian 的。设 $t\in\Bbb{N}_0$ 为整数，$M$ 为 $R$-模使得 $\Ext^i_R(R/I,M)$ 对所有 $i\leq t+1$ 是弱 Laskerian 的。我们证明，如果 $R$-模 $\lc^{i}_\Phi(M)$ 对所有 $i<t$ 是 ${\rm FD_{\leq 1}}$ 的，则 $\lc^{i}_\Phi(M)$ 对所有 $i<t$ 是 $\Phi$-弱余有限的，且对于 $\lc^t_\Phi(M)$ 的任意 ${\rm FD_{\leq 0}}$（或极小极大）子模 $N$，$R$-模 $\Hom_R(R/I,\lc^t_\Phi(M)/N)$ 和 $\Ext^1_R(R/I,\lc^t_\Phi(M)/N)$ 是弱 Laskerian 的。设 $N$ 为有限生成 $R$-模。我们还证明，当 $M$ 是弱 Laskerian 的且 $\lc^{i}_\Phi(M)$ 对所有 $i$ 是 ${\rm FD_{\leq 1}}$ 的时，$\Ext^j_R(N,\lc^{i}_\Phi(M))$ 和 ${\rm Tor}^R_{j}(N,H^{i}_\Phi(M))$ 对所有 $i$ 和 $j$ 是 $\Phi$-弱余有限的。对于普通局部上同调模和由一对理想定义的局部上同调模，类似的结果同样成立。