基于测度空间微分学的弱定量混沌传播

考虑带有由2-Wasserstein距离$W_2$诱导拓扑的$\mathbb{R}^d$上平方可积律的度量空间$(\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d),W_2)$。设$\Phi: \mathcal{P}_2( \mathbb{R}^d) \to \mathbb{R}$为一函数，$\mu_N$为服从分布$\mu$的$N$个随机变量的经验测度。本文的主要结果表明，在适当的正则性条件下，对于某些不依赖于$N$的正常数$C_1, \ldots, C_{k-1}$，其中$k$对应光滑度阶数，有$$|\Phi(\mu) - \mathbb{E}\Phi(\mu_N)|= \sum_{j=1}^{k-1}\frac{C_j}{N^j} + O(\frac{1}{N^k}).$$我们区分两种情况：a)$\mu_N$为来自$\mu$的$N$样本的经验测度；b)$\mu$为McKean-Vlasov随机微分方程的边际律，此时$\mu_N$为相应粒子系统边际律的经验律。第一种情况利用测度空间上的泛函导数研究。第二种情况依赖于概率测度流的Itô型公式，并与测度空间上的偏微分方程（在平均场博弈文献中称为主方程）密切相关。我们给出了每种情况所需的通用正则性条件，并分析了McKean-Vlasov SDE律泛函的正则性。最终，本工作揭示了相互作用粒子系统混沌传播的定量估计。此外，我们能够给出相互作用粒子系的弱混沌传播估计，并表明其可能具有某些显著性质。