由大维随机矩阵特征向量定义的一族随机函数的弱收敛

对每个 $n$,令 $U_n$ 在 $n\times n$ 酉矩阵群上 Haar 分布。设 $\bfx_{n,1},\ldots,\bfx_{n,m}$ 为 ${\Bbb C}^n$ 中正交的非随机单位向量,并令 $\text{\bf u}_{n,k}=(u_k^1,\ldots,u_k^n)^*=U^*\text{\bf x}_{n,k}$,$k=1,\ldots,m$。在 [0,1] 上定义如下函数:$X^{k,k}_n(t)=\sqrt n\sum_{i=1}^{[nt]}(|u_k^i|^2-\tfrac1n)$,$X_n^{k,k'}(t)=\sqrt{2n}\sum_{i=1}^{[nt]}\bar u_k^iu_{k'}^i$,$k<k'$。(“$\bar{\,\,\,\,\,}$” 表示共轭)。则证明 $X_n^{k,k},\Re X_n^{k,k'}$,$\Im X_n^{k,k'}$ 作为 $D[0,1]$ 中的随机过程,当 $n\to\infty$ 时弱收敛于 $m^2$ 个独立的布朗桥副本。在实情形下,对 $m(m+1)/2$ 个过程有相同结果,其中 $O_n$ 为实正交 Haar 分布且 $\bfx_{n,i}\in{\Bbb R}^n$,并将 $X^{k,k}_n$ 中的 $\sqrt n$ 与 $X_n^{k,k'}$ 中的 $\sqrt{2n}$ 分别替换为 $\sqrt{\frac n2}$ 与 $\sqrt{n}$。后一结果将证明对 $M_n=(1/s)V_nV_n^T$ 的特征向量矩阵成立,其中 $V_n$ 为 $n\times s$ 矩阵,其元素为 $\{v_{ij}\},\ i,j=1,2,\ldots$,独立同分布、标准化且对称分布,每个 $\bfx_{n,i}=\{\pm1/\sqrt n,\ldots,\pm1/\sqrt n\}$,且当 $n\to\infty$ 时 $n/s\to y>0$。该结果推广了 J.W. Silverstein {\sl Ann. Probab. \bf18} 1174-1194 中的结果。这些结果应用于主要由噪声构成的随机向量抽样中的检测问题,以及判断样本是否包含非随机向量。