$w_{1+\infty}$ 与 Carroll 全息

在 $1+2$ 维 Carroll 共形场论中，两个局域场 $S^+_0$ 和 $S^+_1$ 的 Ward 恒等式完全由 Carroll 共形应力张量构造而来，分别包含了 $1+3$ 维渐近平坦时空中的主导和次主导正螺旋度软引力子定理。本研究探讨次次主导软引力子定理如何编码到 Carroll 共形场 $S^+_2$ 的 Ward 恒等式中。在假设任何与 $S^+_0,S^+_1,S^+_2$ 相互局域的、与时间无关的非恒等场的 Carroll 标度维数为正的条件下，利用一般 Carroll 共形对称原理和 OPE 交换性构造了算符乘积展开（OPE）$S^+_2S^+_2$。研究发现，为使该 OPE 自洽，理论中必须自动存在另一个局域场 $S^+_3$。随后，作为 $S^+_2S^+_{k-1}$ OPE 自洽条件的迭代结果，揭示出存在无穷 tower 的局域场 $S^+_{k\geq3}$。类似地得到了一般的 $S^+_kS^+_l$ OPE，并且该 OPE 中显现的对称代数被证明是 $w_{1+\infty}$ 的楔子代数（wedge sub-algebra）的 Kac-Moody 代数。Carroll 时间坐标在这一纯全息构造中起着核心作用。2 维天球（Celestial）共形软引力子初态 $H^k(z,\bar{z})$ 被实现为包含在 Carroll 共形初态 $S_{1-k}^+(t,z,\bar{z})$ 中。最后，证明了无穷 tower 的场 $S^+_{k}$ 的存在与无穷多个正螺旋度软引力子定理直接相关。