湖泊方程的涡旋运动

湖泊方程 $$\left\{\begin{aligned} \nabla \cdot \big( b \, \mathbf{u}\big) &= 0 & & \text{on}\ \mathbb{R}\times D,\\ \partial_t\mathbf{u} + (\mathbf{u}\cdot \nabla)\mathbf{u} &= -\nabla h & & \text{on}\ \mathbb{R}\times D ,\\ \mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\nu} &= 0 & & \text{on}\ \mathbb{R}\times\partial D . \end{aligned}\right.$$ 模拟了流体在盆地中无粘不可压缩流动的垂直平均水平速度，该盆地可变深度 $b : D \to [0, + \infty)$ 与其二维投影 $D \subset \mathbb{R}^2$ 的尺寸相比很小。当深度 $b$ 在 $D$ 内处处为正且在边界上为常数时，我们证明：初始涡量集中于内部一点的湖泊方程解的涡量，渐近地是一个Dirac质量的常数倍，其运动由深度函数 $b$ 支配。