单纯形切片与截面的体积闭式解

给定向量 $a \in \mathbb{R}^n$，我们为单纯形 $\Delta$ 的截面 $\Delta \cap \{x : a^T x \le t\}$ 和切片 $\Delta \cap \{x : a^T x = t\}$（其中 $t \in \mathbb{R}$）的体积公式提供了一种替代且直接的证明。关于切片的公式此前已有推导，但作为构造单变量 B-样条 (B-Splines) 的副产品。本文的目标之一是展示 Laplace 变换技术在推导某些多重积分的闭式表达式时是多么简单而强大。此外，本文也补充了此前针对超立方体 $[0, 1]^n$ 获得的一些结果。