三维双曲流形的体积函数与边界数据

我们审述了关于凸共轨双曲流形，或此类流形中凸域（如其凸核心）的近期进展。这两类问题涉及：双曲度流形的度量在何种程度上由其边界上的两种可能几何数据唯一确定。另一个方面是与此类流形相关的“体积”，例如凸共轨双曲流形的再正规化体积。前者与后者之间的关系由体积函数的第一变分提供，其涉及两种边界数据作为“共轭”变量。尽管近期已对某些问题取得了进展，但其他问题仍悬而未决。新的连接近期正在出现，涉及物理学（特别是AdS/CFT对应）以及概率论（Loewner能量）。