非负曲率图的体积加倍、Poincaré不等式与高斯热核估计
微分几何
2015-12-08 v4 组合数学
度量几何
摘要
通过研究热半群，我们在曲率 - 维数不等式 的假设下，证明了图上热方程有界正解的 Li-Yau 型估计，该不等式可视为图的一种曲率概念。此外，我们推导出若图具有非负曲率，则其具有体积加倍性质；由此可证明热核的高斯估计，进而得到 Poincaré不等式和 Harnack 不等式。作为一个推论，我们得出具有多项式增长的图上调和函数空间的维数是有限的，这原本是 Yau 在黎曼流形上提出的猜想，并由 Colding 和 Minicozzi 证明。在图具有正曲率的假设下，通过证明一些 Log Sobolev 不等式，我们推导出了 Bonnet-Myers 型定理，即图的直径是有限的，且由正曲率给出上界。
引用
@article{arxiv.1411.5087,
title = {Volume doubling, Poincar\'e inequality and Guassian heat kernel estimate for nonnegative curvature graphs},
author = {Paul Horn and Yong Lin and Shuang Liu and Shing-Tung Yau},
journal= {arXiv preprint arXiv:1411.5087},
year = {2015}
}
备注
45 pages. arXiv admin note: text overlap with arXiv:0801.0812, arXiv:0911.1819 by other authors