量子多体系统的体积与拓扑不变量

一个带隙多体系统由时空格点 $C^{d+1}$ 上的路径积分描述：若 $\partial C^{d+1} =\emptyset$，则给出配分函数 $Z(C^{d+1})$；若 $\partial C^{d+1} \neq\emptyset$，则在时空边界上给出向量 $|\Psi\rangle$。我们证明 $V = \text{log} \sqrt{\langle\Psi|\Psi\rangle}$ 满足容斥性质 $\frac{V(A\cup B)+V(A\cap B)}{V(A)+V(B)}=1$，并在大格点极限（即热力学极限）下表现为时空格点 $C^{d+1}$ 的体积。这引出一个提议：向量 $|\Psi\rangle$ 是时空格点 $C^{d+1}$ 的量子体积。容斥性质不适用于量子体积，因为它是一个向量。但量子体积满足量子可加性质。在热力学极限的次主导项中 $V = \text{log} \sqrt{\langle\Psi|\Psi\rangle}$ 对容斥性质的违背，产生了刻画系统中拓扑序的拓扑不变量。这是一种从一般路径积分构造和计算拓扑不变量的系统方法。例如，我们展示了如何利用若干个相关时空格点 $C^{2+1}$ 上的非普适配分函数 $Z(C^{2+1})$ 提取 $(M_f)_{11}$ 和 $\text{Tr}(M_f)$，其中 $M_f$ 是模群 $SL(2,\mathbb{Z})$ 的一个表示——一个几乎完全刻画 2+1D 拓扑序的拓扑不变量。