抛物型主方程的粘性解及带闭环控制的 McKean-Vlasov 随机微分方程

主方程是一类状态变量涉及某些底层状态过程之分布的偏微分方程（PDE）。它是研究大型相互作用系统（包括平均场博弈与系统性风险）极限行为的有力工具，也自然出现在具有部分信息的随机控制问题以及时间不一致问题中。本文针对主要由控制问题产生的抛物型主方程，提出了一种新颖的粘性解概念，并建立了其适定性。我们的主要创新在于将所涉及的测度限制于满足所需紧致性的某类半鞅测度集合上。作为一个重要例子，我们研究了与 McKean-Vlasov 随机微分方程控制问题相关的 HJB 主方程。出于实际考虑，我们采用闭环控制。结果表明，在此框架下值函数的正则性比标准控制问题中的对应情形要复杂得多。最后，我们在路径依赖设定下建立了整套理论，这在应用中十分常见。该部分的主要结果是对 Dupire \cite{Dupire} 的函数型 It\^{o} 公式的推广。该 It\^{o} 公式要求对测度的导数具有特殊结构，这一结构最初由 Lions \cite{Lions4} 在状态依赖情形下给出。我们在短注 \cite{WZ} 中为该著名结果提供了初等的证明，且同样的论证在此路径依赖设定下也成立。