大种群均衡主方程经典解的概率方法

我们分析了一类定义在 $\mathbb{R}^d \times \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 上的非线性偏微分方程 (PDE)，其中 $\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 是 $\mathbb{R}^d$ 上具有有限二阶矩的概率测度的 Wasserstein 空间。我们证明此类方程在足够短的时间区间内存在经典解。在附加约束下，我们证明其解可延拓至任意大的时间区间。这些非线性 PDE 源于大种群随机控制理论的最新进展。更确切地说，它们是对应于具有均值场相互作用且受最小化约束的大量受控玩家渐近均衡的主方程 (master equations)。本文结果通过利用这一联系推导得出。特别地，我们研究了由 McKean-Vlasov 型前向 - 后向随机系统生成的流关于初始条件的可微性。作为副产品，我们证明了由该前向 - 后向系统生成的解耦场是相应主方程的经典解。最后，我们给出了其在均值场博弈和 McKean-Vlasov 扩散过程控制中的若干应用。