大种群均衡的主方程

我们利用一个具有特质噪声和共同噪声的简单 $N$-人随机博弈，引入了 Lions 在法兰西学院讲座中最初提出的“主方程”（Master Equation）概念。通过控制 $N$-人博弈显式解在 $N$ 趋于无穷大时的极限，我们突出了玩家状态极限分布的随机性，这是因为随机环境在极限中并未被平均掉；我们将平均场博弈（Mean Field Game, MFG）范式重述为一组耦合的随机偏微分方程（SPDEs）。第一个方程是前向随机 Kolmogorov 方程，描述了在给定共同噪声条件下玩家状态条件分布的演化。第二个方程是随机 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的一种形式，提供了在给定条件分布流时的优化问题解。由于高度耦合，该系统表现为一个无限维的前向后向随机微分方程（FBSDE）。解的唯一性及其马尔可夫性质导致后向方程的解（即随机 HJB 方程的值函数）可表示为前向 Kolmogorov 方程解的确定性函数，该函数通常称为 FBSDE 的解耦场（decoupling field）。该解耦场所满足的（无限维）偏微分方程被识别为“主方程”。我们还表明，该方程可推导自其他大种群均衡，如由 McKean-Vlasov 随机微分方程最优控制所给出的均衡。本文的写作风格更像是一篇综述而非技术论文，我们花费更多时间和精力来激励和解释主方程的概率解释，而非确定使我们的主张成立的最一般假设集。