机器学习时代的偏微分方程：经典方法、机器学习方法与混合方法的批判性综述
机器学习
2026-03-10 v1 偏微分方程分析
摘要
偏微分方程（PDE）支配着自然界中跨越所有科学尺度的物理现象，但其计算求解仍是现代科学的决定性挑战之一。本批判性综述通过一个以六个基本计算挑战为组织框架的统一评估框架，审视了两种成熟且本质上截然不同 paradigm 用于PDE求解的方法：经典数值方法和机器学习方法。经典方法被评估其结构保持特性、严格的收敛理论以及可扩展求解器设计；其在高维和几何复杂场景中的持久性局限被精确刻画。机器学习方法在物理知识嵌入程度不同方面进行了分类，并对其施加了与经典方法相同的批判性评估。经典方法是演绎的——误差由来自PDE结构和离散参数的可推导量界定；而机器学习方法是归纳的——准确性取决于与训练分布的统计接近性。这一认识论区别是负责任方法选择的主要准则。我们识别出两种范式之间的三个真正补充性，并发展了混合设计原则，包括一个解决结构继承问题的框架，阐明了何时经典保证可通过混合耦合传播；以及一个误差预算分解，将离散化、神经近似和耦合贡献分离。我们进一步评估了新兴前沿，包括基础模型、可微编程、量子算法和超大规模协同设计，针对确定当前障碍是根本性还是工程性进步的依赖性进行评估。
引用
@article{arxiv.2603.07655,
title = {Partial Differential Equations in the Age of Machine Learning: A Critical Synthesis of Classical, Machine Learning, and Hybrid Methods},
author = {Mohammad Nooraiepour and Jakub Wiktor Both and Teeratorn Kadeethum and Saeid Sadeghnejad},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.07655},
year = {2026}
}