$\mathcal{M}_{g, n}(\mathbb{P}^r, d)$ 的虚拟 Hodge 数：稳定性与计算

我们研究了单项换置群 $\mathbb{S}_n$ 的等变动力学不变量 $\mathcal{M}_{g, n}(\mathbb{P}^r, d)$ 的模空间，即次数为 $d$ 的从 $n$ 标点曲线族到 $\mathbb{P}^r$ 的映射。特别是，我们获得了 Serre 特征的公式，其可特化为 Hodge-Deligne 多项式。固定 $g, r \geq 1$，我们证明了 Serre 特征生成函数的显式可逆变换为有理函数。我们利用该公式证明了当 $d \to \infty$ 时，$\mathcal{M}_{g, n}(\mathbb{P}^r, d)$ 的重点支撑欧拉特征的权重分层稳定性。在 genus 一和二时，我们将 $\mathcal{M}_{g, n}(\mathbb{P}^r, d)$ 的 Serre 特征计算简化为 $n$ 标点曲线模空间 $\mathcal{M}_{g, n}$ 的计算。后者的公式源自 Getzler 和 Petersen 的工作，因此我们的公式特别确定了 $\mathcal{M}_{g, n}(\mathbb{P}^r, d)$ 的 Serre 特征，对于任意 $n, r, d$ 且 $g=1$ 或 $g=2$ 时均有明确结果。