3-流形映射环面的虚贝蒂数

给定一个可约 $3$-流形 $M$，其在素分解中含有一个非球面因子，以及同胚 $f\colon M\to M$，我们构造了一个从 $M\rtimes_f S^1$ 的有限覆盖到某个非球面 $3$-流形映射环面的度为壹的映射。我们推得 $M\rtimes_f S^1$ 具有虚无限一阶贝蒂数，除非 $M$ 的所有非球面因子都是虚 $T^2$-丛。这验证了 T.-J. Li 与 Y. Ni 猜想的所有情形，即任何不被 $S^2\times S^1$ 覆盖的可约 $3$-流形 $M$ 的映射环面具有虚无限一阶贝蒂数，除非 $M$ 是虚 $(\#_n T^2\rtimes S^1)\#(\#_mS^2\times S^1)$。Li-Ni 猜想最近由 Ni 通过群论结果确认，即证明从任何可约 $3$-流形映射环面的有限覆盖到某个 $\#_m S^2\times S^1$ 的映射环面存在 $\pi_1$-满射，并利用当自由群由多于一个元素生成时自由乘循环群是大的这一事实。