从 Riccati 方程角度看非振荡二阶线性微分方程

我们为形如 (A) $(p(t)x')' = q(t)x$ 的非振荡二阶微分方程建立存在性理论，其中 $p(t)$ 与 $q(t)$ 为 $[a,\infty)$ 上的正连续函数，与 (A) 相关联的一对 Riccati 微分方程 (R1) $u' = q(t) - u^2/p(t)$、(R2) $v' = 1/p(t) - q(t)v^2$ 在其中起关键作用。该理论的本质部分是构造 (A) 的一对线性无关非振荡解 $x_1(t)$ 与 $x_2(t)$，它们具有基于 (R1) 的解 $u_1(t)$、$u_2(t)$ 或基于 (R2) 的解 $v_1(t)$、$v_2(t)$ 的显式指数-积分表示。