顶点算子、无限楔表示与 t-Schur 测度的关联函数

我们研究划分上的 $t$-Schur 测度，其定义为 $\mathbb{P}(\lambda)=Z^{-1}S_\lambda(x;t)s_\lambda(y)$，其中 $S_\lambda(x;t)$ 表示 $t$-Schur 对称函数，$s_\lambda(y)$ 为普通 Schur 函数，$Z$ 为归一化常数。利用顶点算子演算，我们在带电自由费米子 Fock 空间中实现了 $S_\lambda(x;t)$，从而得到了经典玻色子-费米子对应的 $t$-形变。这些实现给出了 $t$-Cauchy 恒等式和 $t$-Gessel 恒等式的顶点代数证明。基于此框架，我们计算了 $t$-Schur 测度的关联函数，并证明相关的点过程是行列式点过程，具有显式的关联核。Poisson 化的 $t$-Plancherel 测度作为我们构造的特例出现，因此其关联函数可作为推论得到。作为一个应用，我们推导了随机排列中最长上升对长度的极限分布。我们的结果在 $t=0$ 时内插到 Schur 情形，在 $t=-1$ 时连接到 Schur-$Q$ 理论，并通过广义 RSK 对应为递增子序列的一个自然 $t$-细化提供了概率解释。