对称函数的复合与 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 的表示

令 $\nabla^\lambda$ 表示由分区 $\lambda$ 标记的 Schur 函子，并令 $E$ 为 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 的自然表示。我们系统地研究何时存在 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 表示的同构 $\nabla^\lambda \!\mathrm{Sym}^\ell \!E \cong \nabla^\mu \!\mathrm{Sym}^m \! E$。推广 King 和 Manivel 的早期结果，我们对当 $\lambda$ 和 $\mu$ 为共轭分区以及当 $\lambda$ 或 $\mu$ 之一为矩形时的所有此类同构进行了分类。当 $\lambda$ 和 $\mu$ 各自至多有两行或两列或为钩形分区时，我们给出了完整分类；当 $\ell = m$ 时给出了部分分类。作为关于由斜分区标记的 Schur 函子的更一般结果的推论，我们还确定了 $\nabla^\lambda \!\mathrm{Sym}^\ell \!E$ 不可约的所有情形。所用方法来自表示论与组合学；特别地，我们明确了其与 MacMahon 平面分拆计数的密切联系，并在该背景下证明了一个新的 $q$-二项式恒等式。