Plancherel 随机分区的乘性平均：椭圆函数、相变及其应用

我们考虑服从参数为 $t^2$ 的 Poissonized Plancherel 测度的随机整数划分 $\lambda$。使用 Riemann$-$Hilbert 技巧，我们建立了在固定 $\eta>0$、$t\to+\infty$ 且 $s/t=O(1)$ 机制下乘性平均 $$Q(t,s)=\mathbb{E} \left[ \prod_{i\geq 1} \left(1+\mathrm{e}^{\eta(\lambda_i-i+\frac{1}{2}-s)}\right)^{-1} \right]$$ 的渐近行为。我们计算了 $\log Q(t,xt)$ 的大 $t$ 展开，显式地用椭圆 $\theta$ 函数表示了速率函数 $\mathcal{F}(x) = -\lim_{t \to \infty}t^{-2}\log Q(t,xt)$ 以及随后的发散和振荡贡献。相关的平衡测度通常呈现非平凡的饱和区域，并经历两次不同性质的三阶相变，我们对此进行了描述。我们结果的应用包括对 $q$ 变形多核生长模型高度函数的尾部概率、正温离散 Bessel 过程边界的显式刻画，以及具有阶梯型初始数据的二维 Toda 方程径向对称解的渐近行为。