平面分拆统计期望的渐近分析

假设从所有此类分拆的集合中均匀随机选取正整数 $n$ 的一个平面分拆，我们提出一种通用渐近方案，用于计算当 $n$ 变大时各种平面分拆统计的期望。本研究中出现的生成函数形如 $Q(x)F(x)$，其中 $Q(x)=\prod_{j=1}^\infty (1-x^j)^{-j}$ 是平面分拆数的生成函数。我们展示了如何直接从函数 $F(x)$ 在 $x=1$ 附近的渐近展开得到此类期望的渐近性。将平面分拆表示为体积为 $n$ 的立体图，可依据其尺寸和形状解释这些统计。作为我们主要结果的应用，我们得到了最大部分（立体图的高度）与迹（立体图主对角线上墙中立方体个数）期望值的渐近行为。我们的结果类似于 Grabner 等人 (2014) 关于线性整数分拆统计的结果。我们的研究基于 Hayman 关于可容幂级数的方法。