与 $SL_2$ 正则表示相关的顶点代数

我们构造了一个称为 $\mathcal{C}_p$，$p \geq 2$ 的顶点代数族，这些代数可能是准准则（非完全可约）的。它们与在水平 $-2+\frac{1}{p}$ 上的 $SL(2)$ 上的细微差分算子顶点代数密切相关。我们证明当 $p=3$ 时，$\mathcal{C}_3$ 与德里恩系列中的仿射顶点代数 $L_{-5/3}(\mathfrak{g}_2)$ 之间存在同构。此外，我们还在 $\mathcal{C}_4$ 和 $\mathcal{C}_5$ 与类型 $F_4$ 和 $E_8$ 的仿射 ${W}$-代数之间建立了同构。通过这种方式，我们解决了将仿射顶点代数分解为仿射 ${W}$-代数的特定问题。一个重要特征是 $\mathcal{C}_p$ 是 $\frac{1}{2} \mathbb{Z}_{\geq 0}$ grading 的，且各级子空间为有限维且字符收敛。因此，对于所有 $p \geq 2$，我们显示 $\mathcal{C}_p$ 的字符表现出模块性，支持准准则性假设。