Gale-Berlekamp 切换博弈的变体及其解：平衡矩形与立方体

Gale-Berlekamp 灯光切换博弈在一个方形灯板上进行。每盏灯有两种状态，开或关。每一行和每一列都有一个开关。拨动该开关会改变该行或该列所有灯的状态。游戏的目标是最小化板上的不平衡度，定义为开灯数与关灯数之差的绝对值。我们研究了一种变体，针对 $n$ 为偶数且 $m \le n$ 的 $m \times n$ 矩阵。我们给出构造性证明：对任意 $m \times n$ 矩形矩阵 $A$，存在 $x \in (\pm 1)^n$ 和 $y \in (\pm 1)^m$ 使得 $|yAx| \le 2$，即存在行列开关可将不平衡度降至至多 $2$，构造了寻找这些开关的完整 Python 例程，并对随机生成的初始板配置测试运行了该算法。随后我们将游戏扩展到三维 $n \times n \times n$ 立方体，具有相应的行、列和层开关。我们定义最小阈值 $P_n$，使得对立方体的所有初始状态，不平衡度总可降至至多 $P_n$。然后我们给出存在性证明：$P_2 = 2$ 且 $P_4 = 4$。