几何变体下的 Gale--Berlekamp 开关游戏

Gale-Berlekamp 开关游戏是在以下装置上进行的: $G_n=\{1,2,\ldots,n\} \times \{1,2,\ldots,n\}$ 是一个由 $2n$ 个开关控制的 $n \times n$ 灯阵，每行或每列一个开关。给定一个（任意）的初始灯盘配置，目标是使尽可能多的灯亮。记亮灯数目减去灭灯数目的最大差值（误差）为 $F(n)$，已知（Brown 和 Spencer，1971）$F(n)= \Theta(n^{3/2})$，更精确地，$F(n) \geq \left( 1+ o(1) \right) \sqrt{\frac{2}{\pi}} n^{3/2} \approx 0.797 \ldots n^{3/2}$。本文将该游戏扩展至其他棋盘。例如：(i) 对于任意常数 $c>1$，若选取 $cn$ 个开关，则方形棋盘的最大误差为 $\Omega(n^{3/2})$。从另一方向，若固定任意 $a$ 个列开关、$b$ 个行开关，其中 $a \geq b$ 且 $a+b=n$，则最大误差至多为 $-b (n-b)$。(ii) 设棋盘 $H \subset \{1,\ldots,n\}^2$，面积为 $A=|H|$，若 $A \geq c (u+v)^2$（其中 $u= |\{x : (x,y) \in H\}|$，$v=|\{y : (x,y) \in H\}|$），则称为密集棋盘。对于面积为 $A$ 的密集棋盘，我们证明最大误差为 $\Theta(A^{3/4})$。该结果是 Brown 和 Spencer 原游戏结果的推广。(iii) 若 $H$ 包含 $G_n$ 中位于曲线 $xy=n$ 下面的元素，则其最大误差为 $\Omega(n)$ 且 $O(n (\log n)^{1/2})$。