复 Hadamard 矩阵的 Gale-Berlekamp 博弈

与复 Hadamard 矩阵 $H\in M_N(\mathbb C)$ 相关联的是一个复概率测度 $\mu\in\mathcal P(\mathbb C)$，它描述了 $\varphi(a,b)=<a,Hb>$ 的分布，其中 $a,b\in\mathbb T^N$ 是随机的。由于与 $H,a,b$ 均为实数的 Gale-Berlekamp 开关博弈具有类比性，该测度被称为矩阵的“辉光”（glow）。我们在此证明：(1) 在 $N\to\infty$ 极限下，$\mu$ 变为复高斯分布；(2) 二阶项也具有普适性；(3) 三阶项似乎非常有趣，特别是对于主 Hadamard 矩阵而言；(4) 在 Fourier 矩阵情形下，某些高阶项控制着循环 Hadamard 矩阵的计数问题。