Hadamard 矩阵的 Gale-Berlekamp 博弈

给定一个 Hadamard 矩阵 $H\in M_N(\pm1)$，我们考虑函数 $\varphi:\mathbb Z_2^N\times\mathbb Z_2^N\to \mathbb Z$，其定义为 $\varphi(a,b)=\sum_{ij}a_ib_jH_{ij}$，该函数对通过切换行和列符号获得的 $H$ 的各种共轭矩阵的条目求和。我们主张 $\varphi$，或者仅仅是其概率分布 $\mu\in\mathcal P(\mathbb Z)$（我们称之为矩阵的"glow"），应当编码关于 $H$ 的重要信息。本文提出了一系列在此方向上的结果和猜想，特别是关于 $\mu$ 的一般分解结果。