素数幂维酉矩阵的 Birkhoff 定理

酉 Birkhoff 定理指出，任意所有行和与所有列和均等于 1 的酉矩阵可分解为置换矩阵的加权和，使得权重之和与权重模平方之和均等于 1。若酉矩阵的维数~$n$ 等于素数 $p$ 的幂，即若 $n=p^w$，则 Birkhoff 分解不需要全部 $n!$ 个可能的置换矩阵，因为超循环置换矩阵已足够。该置换矩阵群同构于一般仿射群 GA($w,p$)，其阶仅为 $p^w(p^w-1)(p^w-p)...(p^w-p^{w-1}) \ll \left( p^w \right)!$。