Fourier矩阵的辉光：普适性与涨落

Hadamard矩阵 $H\in M_N(\mathbb C)$ 的辉光是概率测度 $\mu\in\mathcal P(\mathbb C)$，描述了 $\varphi(a,b)=<a,Hb>$ 的分布，其中 $a,b\in\mathbb T^N$ 是随机的。我们证明了当 $N\to\infty$ 时 $\varphi/N$ 成为复高斯分布，并且普适性在2阶也成立。在Fourier矩阵的情况下，即 $F_G\in M_N(\mathbb C)$ 且 $|G|=N$，普适性最高成立至4阶，且涨落由某些微妙的积分所编码，这些积分在与Hadamard相关的问题的联系中出现。在Walsh矩阵的情况下，即 $G=\mathbb Z_2^n$，我们猜想辉光是 $N=2^n$ 的多项式。