广义傅里叶矩阵的亏格

$N\times N$ 复 Hadamard 矩阵构成一个实代数流形 $C_N$。我们有 $C_N=M_N(\mathbb T)\cap\sqrt{N}U_N$，遵循 Tadej 和\.Zyczkowski 的工作，本文研究包络切空间 $\widetilde{T}_HC_N=T_HM_N(\mathbb T)\cap T_H\sqrt{N}U_N$ 的计算，特别是其维数 $d(H)=\dim(\widetilde{T}_HC_N)$，称为 $H$ 的未去相位亏格 (undephased defect)。我们的主要结果是给出了与任意有限阿贝尔群 $G=\mathbb Z_{N_1}\times...\times\mathbb Z_{N_r}$ 相关联的傅里叶矩阵 $F_G$ 亏格的显式公式。我们还评论了“相关的量子置换群是否能观测到该亏格”这一一般性问题，并提出了涉及 Diaconis-Shahshahani 型变量的概率推测。