随机矩阵乘积的李雅普诺夫指数、普适性与相变

$M$ 个大小为 $N \times N$ 的独立同分布随机矩阵的乘积，与概率论中的经典极限定理（$N=1$ 且 $M$ 很大）、动力系统中的李雅普诺夫指数（有限 $N$ 且 $M$ 很大）以及随机矩阵理论中的普适性（有限 $M$ 且 $N$ 很大）相关。在 $M \to \infty$ 和 $N \to \infty$ 这两种不同的极限下，局部奇异值统计分别呈现高斯和随机矩阵理论的普适性。然而，若 $M$ 和 $N$ 同时趋于无穷，会发生什么仍不清楚。由 Akemann、Burda、Kieburg \cite{Akemann-Burda-Kieburg14} 以及 Deift \cite{Deift17} 提出的这一问题，处于理解这两类普适极限的核心。在复高斯随机矩阵的情形下，我们证明随着 $M$ 与 $N$ 的相对比值从 $0$ 变化到 $\infty$ 存在交叉现象：当 $M/N \to 0$ 时为来自高斯酉系综（GUE）的 sine 和 Airy 核，当 $M/N \to \infty$ 时为高斯涨落，而当 $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$ 时出现新的临界现象。相应地，我们进一步证明最大奇异值在 Gaussian 与 GUE Tracy-Widom 分布之间经历相变。