随机矩阵乘积的涨落与具有随机质量的一维 Dirac 方程

我们研究了 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 的某些随机矩阵乘积 $\Pi_N=M_N\cdots M_2M_1$ 的涨落，其描述了具有随机质量的一维 Dirac 方程的局域化性质。在连续极限下，即当矩阵 $M_n$ 接近单位矩阵时，我们获得了方差 $\Gamma_2=\lim_{N\to\infty}\mathrm{Var}(\ln||\Pi_N||)/N$ 的便利积分表示。所研究的情形表现出在低能 $\varepsilon$ 下方差饱和，同时 Lyapunov 指数 $\Gamma_1=\lim_{N\to\infty}\ln||\Pi_N||/N$ 趋于零，导致行为 $\Gamma_2/\Gamma_1\sim\ln(1/|\varepsilon|)\to\infty$ (当 $\varepsilon\to0$)。我们的连续描述为 Kappus-Wegner (能带中心) 反常提供了新的见解。