随机矩阵的广义 Lyapunov 指数与一维 Anderson 局域化中 SPS 的普适类

我们研究 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 随机矩阵乘积（对应具随机势 $V$ 的一维 Schrödinger 方程的转移矩阵）。我同时考虑势具有有限二阶矩 $\langle V^2\rangle<\infty$ 的情形，以及其分布呈现幂律尾 $p(V)\sim|V|^{-1-\alpha}$（$0<\alpha<2$）的情形。我研究随机矩阵乘积的广义 Lyapunov 指数（即波函数对数的累积量生成函数）。在高能/弱无序极限下，它由一个唯一尺度控制的普适公式给出（单参数标度）。对于 $\langle V^2\rangle<\infty$，可恢复方差等于均值的 Gaussian 涨落：$\gamma_2\simeq\gamma_1$。对于 $\langle V^2\rangle=\infty$，可得 $\gamma_2\simeq(2/\alpha)\,\gamma_1$ 与非 Gaussian 大偏差，关联于电导分布 $W(g)\sim g^{-1+\alpha/2}$（$g\to0$）的普适极限行为。