图上保持对称破缺的博弈的长度

给定图 $G$，我们考虑一个博弈，其中两名玩家 $A$ 和 $B$ 轮流将 $G$ 的边分别染成红色和蓝色。令 $l(G)$ 为在 $A$ 最优地破坏同构时，$B$ 能够保持红色与蓝色子图同构的最大步数。该值是假设 $B$ 最优博弈时 $G$ 上任何回避博弈持续时间的下界。我们证明如果 $G$ 是长度为奇数 $n$ 的路或圈，则 $\Omega(\log n)\le l(G)\le O(\log^2 n)$。下界基于与模型论中 Ehrenfeucht 博弈的联系。我们也考虑完全图并证明 $l(K_n)=O(1)$。