结 $n$-mosaic 总数的上界

Lomonaco 和 Kauffman 引入了一种结 mosaic 系统，以定义量子结系统，该系统可被视为构建实际物理量子系统的蓝图。结 $n$-mosaic 是一个 $n \times n$ 矩阵，由 11 种特定的 mosaic 瓦片组成，通过适当邻接（称为恰当连接）来表示一个结或链环。$D_n$ 表示所有结 $n$-mosaic 的总数。已知 $D_1=1$，$D_2=2$，且 $D_3=22$。在本文中，我们建立了 $D_n$ 的下界和上界：$$\frac{2}{275}(9 \cdot 6^{n-2} + 1)^2 \cdot 2^{(n-3)^2} \ \leq\ D_n \ \leq\ \frac{2}{275}(9 \cdot 6^{n-2} + 1)^2 \cdot (4.4)^{(n-3)^2}.$$ 并求得 $D_4 = 2594$ 的精确值。