量子纽结与纽结镶嵌的数量

Lomonaco 和 Kauffman 发展了纽结镶嵌系统，以引入量子纽结系统的精确且可操作的定义。该定义旨在表示实际的物理量子系统。纽结 (m,n) 镶嵌是一个由镶嵌瓦片（引言中描绘的 $T_0$ 至 $T_{10}$）组成的 $m \times n$ 矩阵，通过适当地连接（称为适当地相连）来表示一个纽结或链环。$D^{(m,n)}$ 是所有纽结 (m,n) 镶嵌的总数。该值表示这些量子纽结系统的 Hilbert 空间的维数。作者已经求出了 $m,n \leq 6$ 时的 $D^{(m,n)}$。本文中，我们构造了一个算法，利用状态矩阵的递推关系来生成 $m,n \geq 2$ 时 $D^{(m,n)}$ 的精确值，该递推关系在计数纽结镶嵌时极为高效。$$D^{(m,n)} = 2 \, \| (X_{m-2}+O_{m-2})^{n-2} \|$$ 其中 $2^{m-2} \times 2^{m-2}$ 矩阵 $X_{m-2}$ 和 $O_{m-2}$ 定义为 $$X_{k+1} = \begin{bmatrix} X_k & O_k \\ O_k & X_k \end{bmatrix} \ \mbox{且 } \ O_{k+1} = \begin{bmatrix} O_k & X_k \\ X_k & 4 \, O_k \end{bmatrix}$$ 对于 $k=0,1, \cdots, m-3$，其中 $1 \times 1$ 矩阵 $X_0 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$ 且 $O_0 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$。这里 $\|N\|$ 表示矩阵 $N$ 所有元素之和。对于 $n=2$，$(X_{m-2}+O_{m-2})^0$ 表示大小为 $2^{m-2} \times 2^{m-2}$ 的单位矩阵。