角连接瓷砖的镶嵌数与瓷砖数

Lomonaco 与 Kauffman 于 2008 年引入纽结镶嵌以建模物理量子态。这些镶嵌使用一组瓷砖在 $n x n$ 网格上表示纽结。2023 年 Heap 引入了一组新瓷砖，可在更小棋盘上表示小纽结。对不同棋盘尺寸与类型上的所有纽结或链环 $K$ 完成穷举搜索，是确定纽结不变量的最常见方式，例如表示纽结所需最小棋盘尺寸 $m(K)$，以及表示纽结所需最少瓷砖数 $t(K)$。本文针对一个开放问题给出解答，证明所有纽结或链环均可用少于传统镶嵌的瓷砖数在角连接镶嵌上表示，即 $t_c(K) < t(K)$，其中 $t_c(K)$ 为表示纽结 \textit{K} 所需最少角连接瓷砖数。我们还基于交叉数 $c(K)$ 定义了角连接镶嵌尺寸 $m_c(K)$ 的界限，并同时创建了称为 \textit{角镶嵌补} 的工具，用以发现传统瓷砖与角连接瓷砖间的关系。最后，我们构造了一族无限链环 $L_n$，其角连接镶嵌数 $m_c(K)$ 已知，并提供了分析角连接镶嵌瓷砖效率的工具。